livre:Analyse. Fonctions de plusieurs variables et géométrie analytique : Cours et exercices corrigés. Licence 2 Mathématiques

Analyse. Fonctions de plusieurs variables et géométrie analytique : Cours et exercices corrigés. Licence 2 Mathématiques

Présentation du livre

CET OUVRAGE est destiné à tous les étudiants qui peuvent avoir besoin d'étudier

les fonctions de plusieurs variables, les courbes paramétrées, les intégrales

doubles ou triples, curvilignes ou de surface, et les opérateurs différentiels.

Bien sûr, les étudiants en deuxième année de licence de mathématiques sont les

premiers concernés, mais il ne fait aucun doute qu'un étudiant scientifique curieux

d'avoir des explications rigoureuses sur les outils qu'il est obligé de manipuler

quotidiennement, pourra lui aussi être intéressé par le contenu de ce manuel.

Les candidats aux concours de l'enseignement (CAPES et Agrégation de mathématiques), quant à eux, doivent avoir vu et compris les notions développées dans cet ouvrage, qui leur sera donc d'un grand secours.

La particularité de cet ouvrage est qu'il essaie de ne jamais faire de raccourci et

que tous les raisonnements sont parfaitement détaillés. Il apparaît ainsi comme un

outil idéal pour tout étudiant isolé qui voudrait acquérir, comprendre et dominer

par lui-même toutes les notions abordées.

Sommaire

-un chapitre sur l'introduction à la topologie de IR.n dans lequel sont présentés

tout le vocabulaire de topologie utile dans cet ouvrage ainsi que l'étude

générale de la topologie.

-un chapitre sur les études des courbes paramétrées (ou fonctions vectorielles)

qui expose de manière exhaustive toutes les particularités classiques de ce

type de courbes.

-un gros chapitre sur les fonctions de plusieurs variables (de JR.P vers IR.n)

qui constitue le coeur de cet ouvrage et dans lequel sont introduites les

notions de continuité, de limites, de dérivées partielles, de différentiabilité

pour toutes ces fonctions et étudiés les opérateurs différentiels classiques.

-un chapitre sur les intégrales curvilignes qui propose une introduction

rigoureuse de la notion d'arc paramétré, avant d'étudier différents aspects

possibles de l'intégration sur un arc paramétré, de l'intégration d'une forme

différentielle ou d'un champ de vecteurs, mais aussi l'intégration d'une fonction scalaire, avec le calcul de la longueur d'une courbe. On y montre également comment utiliser l'intégrale curviligne pour calculer des aires.

-un dernier chapitre traite des différents aspects des intégrales multiples,

dans lequel toutes les démonstrations ne sont pas faites. Cependant, à partir

de quelques propriétés admises, tous les résultats utiles pour calculer les

intégrales doubles et triples, et faire des calculs d'aires ou de volumes, sont

prouvés. Il s'agit ensuite de s'intéresser aux intégrales de surface et, après

une introduction rapide de la notion de nappe paramétrée (introduction

aux variétés différentiables), les calculs de flux d'un champ de vecteurs,

d'aire d'une nappe, et d'intégrale d'une fonction scalaire sur une nappe sont

expliqués. Enfin, le chapitre se termine sur les grands théorèmes liant les

intégrales multiples entre elles : Green-Riemann, Ampère-Stokes, Ostrogradski,

avec pour chacun de ces théorèmes une démonstration élémentaire et

convaincante.

À la fin de chaque chapitre, est proposée une liste d'exercices dont la difficulté est

très progressive.

Auteur de l'ouvrage

-Bruno Aebischer

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